On the Discrete Spectrum of a Model Operator in Fermionic Fock Space

We consider a model operator<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>associated with a system describing three particles in interaction, without conservation of the number of particles. The operator<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>acts in the direct sum of zero-, one-, and two-particle subspaces of the fermionic Fock space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ℱ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>𝕋</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>over<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>𝕋</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. We admit a general form for the "kinetic" part of the Hamiltonian<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, which contains a parameter<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>to distinguish the two identical particles from the third one. (i) We find a critical value<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>for the parameter<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>that allows or forbids the Efimov effect (infinite number of bound states if the associated generalized Friedrichs model has a threshold resonance) and we prove that only for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>the Efimov effect is absent, while this effect exists for any<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>. (ii) In the case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, we also establish the following asymptotics for the number<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>of eigenvalues of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:math>below<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="normal">m</mml:mtext><mml:mtext mathvariant="normal">i</mml:mtext><mml:mtext mathvariant="normal">n</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">inf</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>e</mml:mtext><mml:mtext>s</mml:mtext><mml:mtext>s</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>:</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="normal">l</mml:mtext><mml:mtext mathvariant="normal">im</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="normal">m</mml:mtext><mml:mtext mathvariant="normal">i</mml:mtext><mml:mtext mathvariant="normal">n</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝒰</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn fontstyle="italic">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo> </mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝒰</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn fontstyle="italic">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn fontstyle="italic">0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>, for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>.

Not yet translated