Isomorphic classification of 𝐿_{𝑝,𝑞}-spaces: the case 𝑝=2,1≤𝑞<2
Abstract
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to q greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\leq q>2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that the Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l Subscript 2 comma q"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l_{2,q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (respectively, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript 2 comma q Baseline left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_{2,q}(0,\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) does not isomorphically embed into the space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript 2 comma q Baseline left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_{2,q}(0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (respectively, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript 2 comma q Baseline left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis circled-plus l Subscript 2 comma q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⊕ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_{2,q}(0,1)\oplus l_{2,q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ).
Not yet translated