Self-similar solution of a parabolic equation in divergence form with a source and double nonlinearity

The Cauchy problem for the heat conduction equation with double nonlinearity, variable density, and nonlinear source is considered. Such equations degenerate into first-order equations; therefore, the Cauchy problem usually does not have a classical solution. It is necessary to consider a generalized (weak) solution that satisfies the equation in the sense of distributions. Using the methods of reference equations and nonlinear splitting, a self-similar solution of the equation is constructed. A theorem on the global solvability of the problem for small initial data is proved. To prove the theorem, an upper solution is constructed for certain parameter values. The asymptotic behaviour of the weak solution with compact support is obtained. Conditions on the parameters of the medium are derived under which the self-similar solution serves as the asymptotic representation. Рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности с двойной нелинейностью, с переменной плотностью и при наличии нелинейного источника. Такие уравнения вырождаются в уравнения первого порядка. Задача Коши обычно не имеет классического решения, поэтому приходится рассматривать обобщенное (слабое) решение, удовлетворяющее уравнению в смысле распределений. С использованием методов эталонных уравнений и нелинейного расщепления построено автомодельное решение уравнения. Доказана теорема о глобальной разрешимости задачи при малых начальных данных. Для доказательства построено верхнее решение при определенных значениях параметров. Получена асимптотика слабого решения с компактным носителем. Получено условие (относительно параметров среды), при котором автомодельное решение является асимптотикой.

Not yet translated