Tricomi Problem for a Mixed-Type Equation of the Second Kind in a Domain the Elliptic Part of Which is the First Quadrant of the Plane

In the theory of mixed-type equations, most studies have been carried out for bounded domains with smooth boundaries and for equations of the first kind. In the present paper, for a mixed-type equation of the second kind u_{xx}+signy∣y∣^mu_{yy}=0, 0<m<1, a Tricomi problem is studied in an unbounded domain whose elliptic part is the first quadrant of the plane. The uniqueness of the solution is proved using the extremum principle. The existence of the solution is established by the Green’s function method in the elliptic part and by the integral equation method in the hyperbolic part. In constructing the Green’s function, properties of the modified Bessel functions of the second kind and the Gaussian hypergeometric function are employed. A Fredholm integral equation of the second kind is derived for the trace of the solution on the degeneracy line; its solvability follows from the proven uniqueness. Numerical calculations are performed to visualize the solution, and the results are presented as three-dimensional surfaces and contour plots. A mathematical and physical interpretation of the solution is given for various values of the parameter m. В теории уравнений смешанного типа большинство исследований выполнено для ограниченных областей с гладкой границей и для уравнений первого рода. В настоящей работе для уравнения смешанного типа второго рода u_{xx}​+signy∣y∣^mu_{yy}​=0,0<m<1, рассматривается задача Трикоми в неограниченной области, эллиптическая часть которой представляет собой первую четверть плоскости. Единственность решения доказывается с помощью принципа экстремума. Существование решения устанавливается методом функций Грина в эллиптической части и методом интегральных уравнений в гиперболической части. При построении функции Грина используются свойства функций Бесселя мнимого аргумента второго рода и гипергеометрической функции Гаусса. Получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно следа решения на линии вырождения, разрешимость которого следует из доказанной единственности. Для визуализации решения проведены численные расчёты, результаты которых представлены в виде трёхмерных поверхностей и контурных графиков; дана математическая и физическая интерпретация решения для различных значений параметра m.

Not yet translated