Одномерная обратная задача определения источника для системы уравнений типа Хопфа
Abstract
Рассматривается одномерная обратная задача определения функций источника для системы уравнений типа Хопфа, возникающей при моделировании движения вязких несжимаемых жидкостей в двухжидкостной среде без давления. Исследуемая модель относится к классу гиперболических систем с нелинейными конвективными членами и межфазным взаимодействием, описываемым коэффициентом трения. Цель работы состоит в установлении условий существования и единственности решения обратной задачи при задании дополнительной информации в фиксированной пространственной точке. В качестве исходных данных используются начальные условия Коши для скоростей фаз, а также условия переопределения, задаваемые значениями искомых функций в одной точке пространства. Для решения задачи применяется метод слабой аппроксимации, основанный на дроблении временного интервала и последовательном решении вспомогательных задач Коши. Строится аппроксимирующая последовательность гладких решений, для которой получены равномерные по параметру аппроксимации априорные оценки. Показана равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность решений и их производных по пространственной переменной до пятого порядка включительно. С использованием теоремы Арцела доказана компактность аппроксимирующих семейств и существование предельного решения. Установлено, что при выполнении естественных условий гладкости и ограниченности входных данных обратная задача имеет единственное решение в классе гладких ограниченных функций. Доказана корректность постановки задачи и восстановление функций источника в явном виде. Полученные результаты могут быть использованы при анализе и численном моделировании процессов в двухфазных вязких средах.