Oscillatory integrals and Fourier transforms of surface carried measures

We suppose that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a smooth hypersurface in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {R}}^{n + 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with Gaussian curvature <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="kappa"> <mml:semantics> <mml:mi> κ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\kappa</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and surface measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dS</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w"> <mml:semantics> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">w</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a compactly supported cut-off function, and we let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mu _\alpha }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the surface measure with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d mu Subscript alpha Baseline equals w kappa Superscript alpha Baseline d upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi> κ </mml:mi> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d{\mu _\alpha } = w{\kappa ^\alpha }\,dS</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In this paper we consider the case where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the graph of a suitably convex function, homogeneous of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and estimate the Fourier transform <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove mu With caret Subscript alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\hat \mu _\alpha }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We also show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is convex, with no tangent lines of infinite order, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove mu With caret Subscript alpha Baseline left-parenthesis xi right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi> μ </mml:mi>

Not yet translated