Complex powers of the Schrödinger operator with singular potential
Abstract
We consider in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Superscript n Baseline left-parenthesis n greater-than 3 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R^{n}\ (n > 3)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the Schrödinger operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H left-parenthesis x comma upper D right-parenthesis equals negative normal upper Delta plus upper V left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H(x,D)\ =\ - \Delta \ +\ V(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and suppose that potential <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is smooth enough outside <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S subset-of upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S\subset R^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S equals union Underscript k equals 1 Overscript l Endscripts upper S Subscript k Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false"> ⋃ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S\ =\ \bigcup \limits _{k=1}^{l} S_{k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_{k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are smooth surfaces in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n minus m Subscript k Baseline comma 3 less-than-or-equal-to m Subscript k Baseline greater-than n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n-m_k,\quad 3\leq m_k > n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho left-parenthesis x right-parenthesis equals dist left-parenthesis x comma upper S right-parenthesis equals inf Underscript y element-of upper S Endscripts StartAbsoluteValue x minus y EndAbsoluteValue period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml