Sharp bounds for the Toader mean of order 3 in terms of arithmetic, quadratic and contraharmonic means

Abstract In the article, we present the best possible parameters α 1 , β 1 , α 2 , β 2 ∈ ℝ and α 3 , β 3 ∈ [1/2, 1] such that the double inequalities <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mstyle> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mstyle> </m:mtd> <m:mtd> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:msub> <m:mi>T</m:mi> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:msub> <m:mi>β</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mi>β</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mi>Q</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mtd> <m:mtd> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:msub> <m:mi>T</m:mi> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:msub> <m:mi>β</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mi>β</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>)</m:mo>

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