On the importance of NNLO QCD and isospin-breaking corrections in $$\varepsilon '/\varepsilon $$

Abstract Following the 1999 analysis of Gambino, Haisch and one of us, we stress that all the recent NLO analyses of $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> in the Standard Model (SM) suffer from the renormalization scheme dependence present in the electroweak penguin contributions as well as from scale uncertainties in them related to the matching scale $$\mu _W$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>W</mml:mi></mml:msub></mml:math> and in particular to $$\mu _t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:math> in $$m_t(\mu _t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . We also reemphasize the important role of isospin-breaking and QED effects in the evaluation of $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . Omitting all these effects, as done in the 2015 analysis by RBC-UKQCD collaboration, and choosing as an example the QCD penguin ( $$Q_6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:msub></mml:math> ) and electroweak penguin ( $$Q_8$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn></mml:msub></mml:math> ) parameters $$B_6^{(1/2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math> and $$B_8^{(3/2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math> to be $$B_6^{(1/2)}= 0.80 \pm 0.08$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.80</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>0.08</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$B_8^{(3/2)}= 0.76 \pm 0.04$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.76</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>0.04</mml:mn></mml:mrow></mml:math> at $$\mu = m_c=1.3\,\, \text {GeV}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.3</mml:mn><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mtext>GeV</mml:mtext></mml:mrow></mml:math> , we find $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\mathrm{SM} = (9.4 \pm 3.5) \times 10^{-4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>SM</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>9.4</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>3.5</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , whereas including them results in $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\mathrm{SM} = (5.6\pm 2.4)\times 10^{-4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>SM</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>5.6</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>2.4</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> . This is an example of an anomaly at the $$3.3\,\sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3.3</mml:mn><mml:mspace/><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> level, which would be missed without these corrections. NNLO QCD contributions to QCD penguins are expected to further enhance this anomaly. We provide a table for $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> for different values of $$B_6^{(1/2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math> and the isospin-breaking parameter $${\widehat{\Omega }}_\text {eff}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mover><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mtext>eff</mml:mtext></mml:msub></mml:math> , that should facilitate monitoring the values of $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> in the SM when the RBC-UKQCD calculations of hadronic matrix elements including isospin-breaking corrections and QED effects will improve with time.

Перевод пока недоступен