Une classification des facteurs de type ${\rm III}$

CONNES Le problme principal de la thorie des algbres de von Neumann est celui de la classification isomorphisme prs des algbres de von Neumann oprant dans un espace hilbertien sparable. Un thorme de von Neumann permet de se limiter au cas des facteurs (i. e. des algbres de von Neumann dont le centre est rduit aux scalaires). La thorie de la dimension relative des projecteurs (de Murray et von Neumann) rpartit les facteurs en types I, II et III. A tout facteur M de type I est associ un entier n [1, oo] et M est isomorphe Fn = S (^n) o Xn est un espace hilbertien de dimension n. Me DufT a montr (en 1968) l'existence d'une infinit continue de facteurs de type II deux deux non isomorphes. R. T. Powers a montr (en 1967) l'existence d'une infinit continue (R)>.]O,I[ de facteurs de type III deux deux non isomorphes. De plus, dans [40], E. J. Woods a prouv l'impossibilit de construire effectivement une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphismes de facteurs de type III et l'ensemble des nombres rels. Cependant, dans [2], H. Araki et E. J. Woods ont dfini, par rfrence aux facteurs R, de Powers, deux invariants algbriques r^ et p, et ont donn une classification des facteurs produits tensoriels infinis de facteurs de type 1$ cette classification a t gnralise par W. Krieger [cf. [23] [27]) aux facteurs construits partir de transformations ergodiques. Rappelons qu'un facteur est de type 7^ III si et seulement s'il possde une trace normale fidle semi-finie. La donne d'un couple (algbre de von Neumann, trace normale fidle semi-finie) est quivalente la donne 4 e SRIE --TOME 6 --1973 --? 2 CLASSIFICATION DES FACTEURS DE TYPE III 135 Ce calcul prouve que les relations entre S, T et r^, p valables pour les facteurs d'Araki-Woods ne sont pas valables en gnral. La nature de S (M)nR*, sous-groupe ferm de R^, permet de subdiviser le type III en types III),, A[O, 1]. Le rsultat principal sur la structure des facteurs de type III est la possibilit de synthtiser tout facteur M de type III),, ^ 7^ 1, par produit crois partir d'une algbre de von Neumann semi-finie N et d'un automorphisme 9 de N. Les critres obtenus pour l'unicit du couple (N, 6) associ M ramnent le problme de classification des facteurs de type III),, X ^ 1, un problme de classification d'automorphismes d'une algbre de von Neumann de type II. Pour ]0, 1[ on peut choisir pour N un facteur, et la classification des facteurs de type II retentit ainsi sur celle des facteurs de type III. Le cas == 0 correspond l'impossibilit de choisir pour N un facteur, mais permet par exemple, d'obtenir M comme limite inductive, en un sens trs strict (cf. 5.3), d'une suite d'algbres de von Neumann semi-finies. Les rsultats obtenus dans le cas III\, ^ ^zz 1, ne restent en gnral pas vrais dans le cas IIIi. Par exemple, M. Takesaki et R. Herman ont montr dans [18] l'existence d'un facteur de type III et d'un tat normal fidle dont le centralisateur est rduit aux scalaires. A l'oppos le centralisateur de tout tat normal fidle sur un facteur de type III , ^ ^zz 1, contient une sous-algbre de von Neumann ablienne maximale du facteur. Ce qui prcde montre ainsi l'existence de trois degrs principaux (IIIo, IIA pour ]O,I[, et IIIi) dans le caractre purement infini des facteurs de type III. En application, nous avons pu rsoudre certains problmes de la thorie des algbres d'oprateurs. Les conclusions sont les suivantes : 1 II existe un facteur hyperfini, qui opre dans un espace sparable, et qui n'est pas un produit tensoriel infini de facteurs de type 1 {cf. [33], Pb. 4.4.10). 2 Pour X]0,l/2[, la proprit L), de Powers n'est pas quivalente la proprit L^ d'Araki (question pose dans [1]). 3 Tout facteur normal oprant dans un espace sparable est de type 1 (Pb. 10 de On rings of Operators de Murray et von Neumann). 4 La classification des facteurs non hyperfinis oprant dans un espace sparable n'est pas standard (question pose dans [40]). 5 Pour tout facteur d'Araki-Woods M, l'ensemble des To ^ 0 tels que exp (-2 Tc/To)p (M) est la partie positive d'un sous-groupe de R (question pose dans [2], p. 124).

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