Bose–Hubbard models with on-site and nearest-neighbor interactions: exactly solvable case

Abstract We study the discrete spectrum of the two-particle Schrödinger operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">̂</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , associated to the Bose–Hubbard Hamiltonian <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">̂</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> of a system of two identical bosons interacting on site and nearest-neighbor sites in the two dimensional lattice <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> with interaction magnitudes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> , respectively. We completely describe the spectrum of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">̂</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and establish the optimal lower bound for the number of eigenvalues of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">̂</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> outside its essential spectrum for all values of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> . Namely, we partition the ( μ , λ )-plane such that in each connected component of the partition the number of bound states of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">̂</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow>

Перевод пока недоступен