On the Sombor characteristic polynomial and Sombor energy of a graph

Abstract Let G be a simple graph with vertex set $$V(G) = \{v_1, v_2,\ldots , v_n\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The Sombor matrix of G , denoted by $$A_{SO}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>SO</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , is defined as the $$n\times n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> matrix whose ( i , j )-entry is $$\sqrt{d_i^2+d_j^2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> if $$v_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$v_j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are adjacent and 0 for another cases. Let the eigenvalues of the Sombor matrix $$A_{SO}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>SO</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be $$\rho _1\ge \rho _2\ge \cdots \ge \rho _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> which are the roots of the Sombor characteristic polynomial $$\prod _{i=1}^n (\rho -\rho _i)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The Sombor energy $${E_{SO}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>SO</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> of G is the sum of absolute values of the eigenvalues of $$A_{SO}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>SO</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we compute the Sombor characteristic polynomial and the Sombor energy for some graph classes, define Sombor energy unique and propose a conjecture on Sombor energy.

Перевод пока недоступен