Commutator estimates in 𝑊*-factors

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">W^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -factor and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis script upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S\left ( \mathcal {M} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the space of all measurable operators affiliated with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It is shown that for any self-adjoint element <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a element-of upper S left-parenthesis script upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a\in S(\mathcal {M})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there exists a scalar <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 0 element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _0\in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , such that for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there exists a unitary element <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue left-bracket a comma u Subscript epsilon Baseline right-bracket EndAbsoluteValue greater-than-or-equal-to left-parenthesis 1 minus epsilon right-parenthesis StartAbsoluteValue a minus lamda 0 bold 1 EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>

Перевод пока недоступен