On omega limiting sets of infinite dimensional Volterra operators

Abstract In the present paper, we are aiming to study limiting behaviour of infinite dimensional Volterra operators. We introduce two classes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>̃</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>̃</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> of infinite dimensional Volterra operators. For operators taken from the introduced classes we study their omega limiting sets ω V and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> with respect to ℓ 1 -norm and pointwise convergence, respectively. To investigate the relations between these limiting sets, we study linear Lyapunov functions for such kind of Volterra operators. It is proven that if Volterra operator belongs to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>̃</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , then the sets <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> coincide for every x ∈ S , and moreover, they are non empty. If Volterra operator belongs to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>̃</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , then ω V ( x ) could be empty, and it implies the non-ergodicity (w.r.t. ℓ 1 -norm) of V , while it is weak ergodic.

Перевод пока недоступен