Weighted inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order one and greater
Аннотация
A simple characterization is given for two-weight norm inequalities for generalized Hardy operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript phi Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals integral Subscript 0 Superscript x Baseline phi left-parenthesis StartFraction t Over x EndFraction right-parenthesis f left-parenthesis t right-parenthesis d t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> φ </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo largeop="false"> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{T_\varphi }f(x) = \smallint _0^x\varphi (\tfrac {t}{x})f(t)dt</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi colon left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis right-arrow left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi :(0,1) \to (0,\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is nonincreasing and satisfies <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis a b right-parenthesis less-than-or-equal-to upper D left-bracket phi left-parenthesis a right-parenthesis plus phi left-parenthesis b right-parenthesis right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi (ab) \leq D[\varphi (a) + \varphi (b)]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than a comma b greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 > a,b > 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Included in particular are the Riemann-Liouville fractional integrals.
Перевод пока недоступен