Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles

Dans la première partie, on étudie les familles <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:math> de l’espace <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> des variables complexes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>...</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> ; on suppose que le sous-espace réel <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> coupe <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:math> selon un domaine <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> de la topologie <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . On sait que l’enveloppe supérieure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:math> de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> . L’étude porte sur l’ensemble <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math> où l’on a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> : <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math> est réunion de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> ensemble de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> -capacité nulle, dont chacun est coupé par une des directions d’axe complexe selon des ensembles de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -capacité nulle. Sur <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math> est de mesure nulle et <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:math> est localement sommable. Ces propriétés permettent l’étude de classes particulières <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> de fonctions analytiques <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> de variables réelles dont les domaines d’holomorphie ont une intersection <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> non vide et pour lesquelles il existe une majoration de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> sur un compact <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> en fonction linéaire de sup. <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> sur un compact <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> , la correspondance <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi>

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