On mixing and completely mixing properties of positive 𝐿¹-contractions of finite von Neumann algebras

Akcoglu and Suchaston proved the following result: Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper X comma script upper F comma mu right-parenthesis right-arrow upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper X comma script upper F comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T: L^1(X,{\mathcal F},\mu )\to L^1(X,{\mathcal F},\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a positive contraction. Assume that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper X comma script upper F comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z\in L^1(X,{\mathcal F},\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Superscript n Baseline z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(T^nz)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> converges weakly in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper X comma script upper F comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^1(X,{\mathcal F},\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Then either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts double-vertical-bar upper T Superscript n Baseline z double-vertical-bar equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{n\to \infty }\|T^nz\|=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or there exists a positive function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper X comma script upper F comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:

Перевод пока недоступен