Translation invariant forms on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math>

It is shown that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> is a connected metrizable compact Abelian group and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , any (possibly discontinuous) translation invariant linear form on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a scalar multiple of the Haar measure. This result extends the theorem of G.H. Meisters and W.M. Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407-424) on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Our method permits in fact to consider any superreflexive translation invariant Banach lattice on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> , which is the adopted point of view. We study the representation of an element <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> of this invariant lattice <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> as a sum of a bounded number of elements of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the corresponding translation operator. Our approach consists in proving the boundedness of certain random convolution operators using interpolation techniques.

Перевод пока недоступен