Capacity dimension of the Perez-Marco set

In this paper, we prove that the complement of the Perez-Marco set has zero <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript sigma"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -capacity with respect to the kernel <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k Subscript sigma Baseline left-parenthesis z comma xi right-parenthesis equals ln Superscript sigma Baseline ln left-parenthesis e plus StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue z minus xi EndAbsoluteValue EndFraction right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k_\sigma (z,\xi ) = \ln ^{\sigma }{\ln \left (e+\frac {1} {\left | {z - \xi }\right |}\right )},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma &gt; 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .

Перевод пока недоступен