More on convergence in unitary matrix spaces

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a symmetric sequence space satisfying the Radon-Riesz Property <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue x Subscript n Baseline StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue right-arrow StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue x StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue and x Subscript n Baseline right-arrow x weakly right-brace right double arrow StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue x Subscript n Baseline minus x StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue right-arrow 0 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>and </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> weakly</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> ⇒ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ ||{x_n}|| \to ||x||{\text {and }}{x_n} \to x{\text { weakly}}\} \Rightarrow ||{x_n} - x|| \to 0,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> then the same is true for the associated unitary matrix space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript upper E"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_{E}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .

Ҳали таржима қилинмаган