Local automorphisms and derivations on ℬ(ℋ)

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {A}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an algebra. A mapping <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta colon script upper A long right-arrow script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ⟶ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta :{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {A}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is called a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -local automorphism if for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a comma b element-of script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a,b\in {\mathcal {A}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there is an automorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript a comma b Baseline colon script upper A long right-arrow script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ⟶ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta _{a,b}:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {A}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , depending on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b"> <mml:semantics> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript a comma b Baseline left-parenthesis a right-parenthesis equals theta left-parenthesis a right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta _{a,b}(a)=\theta (a)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta Subscript a comma b Baseline left-parenthesis b right-parenthesis equals theta left-parenthesis b right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </m

Ҳали таржима қилинмаган