Nombre de rotation, mesures invariantes et ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle

Etant donné <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> irrationnel de type constant, nous donnons des conditions explicites et génériques sur les pentes d’un homéomorphisme <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> affine par morceaux du cercle de nombre de rotation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> , qui garantissent que la mesure de probabilité <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> -invariante est singulière par rapport à la mesure de Haar. Cet article contient une preuve élémentaire d’un résultat de E. Ghys et V. Sergiescu : ”le nombre de rotation d’un homéomorphisme dyadique est rationnel”. Nous y étudions aussi le ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle.

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