О гладкости одной полупериодической краевой задачи для трёхмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченной области

В работе А.В. Бицадзе показано, что задача Дирихле для уравнения смешанного типа некорректна. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, охватывающими всю границу, которые обеспечивают корректность задачи? Впервые такие краевые задачи (нелокальные краевые задачи) для уравнения смешанного типа были предложены и изучены в работах Ф.И. Франкля. Как близкие по постановке к изучаемым, задачи для уравнения смешанного типа второго рода в ограниченных областях исследованы в работе С. Джамалова. Для уравнений смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченных областях полупериодические краевые задачи в трёхмерном случае практически не исследованы. В данной работе исследуется единственность, существование и гладкость обобщенного решения полупериодической краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода, второго порядка в неограниченной области. В предлагаемой статье методом интегралов энергии доказывается единственность обобщенного решения задачи. Для доказательства существования и гладкости обобщенного решения задачи использованы методы «ε-регуляризации» и априорные оценки с применением преобразования Фурье In the work of A.V.Bitsadze it is shown that the Dirichlet problem for a mixedtype equation is incorrect. The question naturally arises: is it possible to replace the conditions of the Dirichlet problem with other conditions covering the entire boundary, which ensure the correctness of the problem? For the first time such boundary value problems (non-local boundary value problems) for a mixed-type equation were proposed and studied in the works of F.I. Frankl. As problems for mixed-type equations of the second kind in bounded domains, which are close in formulation to those under study, are investigated in the work of S. Dzhamalov. For mixed-type equations of the second kind of the second order in unbounded domains, semi-periodic boundary value problems in the three-dimensional case have been practically not investigated. In this paper, we investigate the uniqueness, existence and smoothness of a generalized solution to a semiperiodic boundary value problem for a mixed-type equation of the second kind, second order in an unbounded domain. In this paper, we prove the uniqueness of a generalized solution to the problem using the energy integral method. To prove the existence and smoothness of a generalized solution to the problem, the methods of “ε-regularization” and a priori estimates using the Fourier transform were used.

Hali tarjima qilinmagan