Критические кривые, спектральное разбиение и пороговые резонансы для одномерного двухфермионного решеточного гамильтониана

Исследуется двухпараметрическое семейство операторов Шредингера, описывающих два тождественных фермиона на одномерной решетке $\mathbb Z$ с взаимодействиями между ближайшими и следующими за ближайшими соседями. С помощью разложения Флоке-Блоха задача сводится к исследованию семейства слойных операторов, параметризованных полным квазиимпульсом. В случае нулевого квазиимпульса за счет фермионной антисимметрии оператор взаимодействия сводится к возмущению ранга 2, а конечномерная редукция Липмана-Швингера позволяет описывать дискретный спектр нулями определителя Фредгольма порядка $2\times2$. Предельные значения определителя Фредгольма на нижней и верхней границах существенного спектра задают две критические кривые на плоскости параметров взаимодействия. Уравнения этих кривых найдены в явном виде, и показано, что дополнение к ним разбивается на открытые спектральные области с фиксированным числом дискретных собственных значений ниже и выше существенного спектра. Реализуется ровно шесть спектральных конфигураций: отсутствие дискретных собственных значений; одно собственное значение ниже или выше существенного спектра; два собственных значения ниже или выше существенного спектра; а также по одному собственному значению с каждой стороны. Каждая из этих конфигураций реализуется в некоторой непустой области плоскости параметров взаимодействия. Как следствие, слойный гамильтониан при нулевом квазиимпульсе имеет не более двух дискретных собственных значений. С использованием гильбертовых пространств с весом, адаптированных к пороговым сингулярностям, доказано, что каждая точка критической кривой порождает пороговый резонанс на соответствующей границе спектра. В точках пересечения нижней и верхней критических кривых пороговые резонансы возникают одновременно на обеих границах. Результаты подсчета собственных значений распространены на случай ненулевого полного квазиимпульса. Показано, что каждый пороговый резонанс слойного гамильтониана при нулевом квазиимпульсе порождает истинное дискретное собственное значение для каждого ненулевого полного квазиимпульса.

Hali tarjima qilinmagan