Виртуальные уровни и спектральная критичность двухчастичных операторов Шредингера на трехмерной решетке

Исследуется двухпараметрическое семейство двухчастичных решеточных операторов Шредингера $H_{\mu_1\mu_2}(K)$, описывающих два тождественных бозона на трехмерной кубической решетке $\mathbb Z^3$ с взаимодействиями на одном узле и между ближайшими соседями (константы связи $\mu_1,\mu_2\in\mathbb R$ соответственно) и полным квазиимпульсом $K\in\mathbb T^3$. После разложения в прямой интеграл модель представляется в пространстве $L^{2,\mathrm e}(\mathbb T^3)$ как возмущение четвертого ранга свободного решетчатого гамильтониана. Для $K=0$ перестановочная симметрия системы приводит к разложению пространства $L^{2,\mathrm e}(\mathbb T^3)$ в прямую сумму трех инвариантных подпространств, отвечающих неприводимым представлениям группы перестановок $S_3$. Это сводит спектральный анализ к исследованию трех сужений оператора. Для описания пороговых спектральных переходов вводится понятие критического оператора, определяемого обращением в нуль соответствующего определителя Фредгольма на границе существенного спектра. Доказано, что симметричная компонента $H^{\mathrm s}_{\mu_1\mu_2}(0)$ является критической в точности вдоль двух характеристических кривых на плоскости констант связи, а антисимметричная и смешанная компоненты, будучи унитарно эквивалентными, становятся критическими лишь в одной выделенной точке. Эти критические множества разделяют области с различным числом связанных состояний. Для критических значений параметров определяется, соответствует ли пороговая сингулярность истинному собственному значению или же виртуальному уровню, а также находятся точное число и расположение дискретных собственных значений как на самом критическом множестве, так и в его окрестности. Для произвольного $K\in\mathbb T^3$ установлена непрерывность дискретных собственных значений по квазиимпульсу и построены общие нижние оценки для их числа. Совокупность полученных результатов дает полное описание пороговых спектральных переходов для системы двух бозонов на решетке $\mathbb Z^3$ с взаимодействием конечного радиуса, включающим связи на узле и связи с ближайшими соседями.

Hali tarjima qilinmagan