A lattice renorming theorem and applications to vector-valued processes

A norm, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">||\;||</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , on a Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is said to be locally uniformly convex if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar x Subscript n Baseline double-vertical-bar right-arrow double-vertical-bar x double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \| {{x_n}} \right \| \to \left \| x \right \|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar x Subscript n Baseline plus x double-vertical-bar right-arrow 2 double-vertical-bar x double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \| {{x_n} + x} \right \| \to 2\left \| x \right \|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> implies that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Subscript n Baseline right-arrow x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{x_n} \to x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in norm. It is shown that a Banach lattice has an (order) equivalent locally uniformly convex norm if and only if the lattice is order continuous. This result is used to reduce convergence theorems for (lattice-valued) positive martingales and submartingales to the scalar case.

Hali tarjima qilinmagan