Closed convex hulls of unitary orbits in von Neumann algebras

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a von Neumann algebra. The distance <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d i s t left-parenthesis x comma c o script upper U left-parenthesis y right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>dist</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>co</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {dist} (x,\operatorname {co} \mathcal {U}(y))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c o script upper U left-parenthesis y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>co</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {co} \mathcal {U}(y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for selfadjoint operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y element-of script upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y \in \mathcal {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the distance <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d i s t left-parenthesis phi comma c o script upper U left-parenthesis psi right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>dist</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>co</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ψ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {dist} (\varphi ,\operatorname {co} \mathcal {U}(\psi ))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c o script upper U left-parenthesis psi right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>co</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ψ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {co} \mathcal {U}(\psi )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for selfadjoint elements <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi element-of script upper M Subscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ψ

Hali tarjima qilinmagan