Étude des coefficients de Fourier des fonctions de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math>

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -périodiques intégrables. Soit en particulier <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> une suite lacunaire d’entiers : <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . On appelle suite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> -lacunaire associée la suite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> des entiers qui s’écrivent sous la forme <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . On montre que si <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Log</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> est fini, il en est de même de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . D’autre part, si <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , si <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> est fini il en est de même de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo>

Hali tarjima qilinmagan