Logarithmic convexity, first order differential inequalities and some applications

Let, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t element-of left-bracket 0 comma upper T right-parenthesis left-parenthesis upper T greater-than normal infinity right-parenthesis comma upper D left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t \in [0,T)(T &gt; \infty ),D(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a dense linear subspace of a Hilbert space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be linear operators (possibly unbounded) mapping <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon left-bracket 0 comma upper T right-parenthesis times upper H right-arrow upper H"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f:[0,T) \times H \to H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We give sufficient conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M comma upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M,N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in order to insure uniqueness and stability of solutions to <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 right-parenthesis upper M left-parenthesis t right-parenthesis d u slash d t equals upper N left-parenthesis t right-parenthesis u plus f left-parenthesis t comma u right-parenthesis comma u left-parenthesis 0 right-parenthesis given period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</m

Hali tarjima qilinmagan