An exponential-trigonometric spline minimizing a seminorm in a Hilbert space
Abstract
Abstract In the present paper, using the discrete analogue of the operator $\mathrm{d} ^{6}/\mathrm{d} x^{6}-1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , we construct an interpolation spline that minimizes the quantity $\int _{0}^{1}(\varphi {'''}(x)+\varphi (x))^{2}\,\mathrm{d}x$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>‴</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:math> in the Hilbert space $W_{2}^{(3,0)}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> . We obtain explicit formulas for the coefficients of the interpolation spline. The obtained interpolation spline is exact for the exponential-trigonometric functions ${{e}^{-x}}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , ${{e}^{\frac{x}{2}}}\cos ( \frac{\sqrt{3}}{2}x)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo>cos</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> , and ${{e}^{\frac{x}{2}}}\sin ( \frac{\sqrt{3}}{2}x )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo>sin</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> .