Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами
Abstract
В прямоугольной области рассматривается вторая краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности построен контрпример. Решение задачи ищется в виде произведения двух функций $X(x)$ и $Y(y)$ с использованием метода разделения переменных. Для определения $Y(y)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными условиями на границах сегмента $[ 0, q ]$. Для этой задачи найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции при $n=0$ и $n\in \mathbb N$. Для определения $X(x)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя граничными условиями на границах сегмента $[ 0, p ]$. Решение указанной задачи построено методом функции Грина. Отдельная функция Грина была построена для $n=0$ и отдельная функция Грина для случая, когда $n$ натуральное. Проверено, что найденные функции Грина удовлетворяют граничным условиям и свойствам функции Грина. Решение для $X(x)$ выписано через построенную функцию Грина. После некоторых преобразований получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решение которого выписано через резольвенту. Получены оценки резольвенты и функции Грина. Доказана равномерная сходимость решения и возможность его почленного дифференцирования при некоторых условиях на заданные функции. Сходимость производной третьего порядка решения по переменной $x$ доказывается с помощью неравенств Коши-Буняковского и Бесселя. При обосновании равномерной сходимости решения доказывается отсутствие "малого знаменателя".