A Diffusive Predator-Prey System with a Free Boundary
Аннотация
In this paper, we consider a problem with a free boundary for a diffusive predator-prey system in the onedimensional case. Nonlinear problems with free boundary are studied using a method based on constructing a priori estimates. Therefore, first, using a method based on constructing a priori estimates, we will determine the constraints on the parameters of the problem, under which it is globally solvable. The first, fundamental estimate, gives the initial information, starting from which one can receive step by step, moving up the scale of Banach spaces. To do this, the problem is reduced to a fixed-boundary problem through a change of variables. The resulting problem has timeand space-dependent coefficients with nonlinear terms. Next, Schauder-type a priori estimates are constructed for the equation with nonlinear terms and a fixed boundary. Based on these estimates, the uniqueness of the solution to the problem is proven. Then, the global existence of a solution to the problem was proved using the Leray-Schauder fixed point theorem В данной работе рассматривается задача со свободной границей для диффузионной системы хищник-жертва в одномерном случае. Исследование нелинейных задач со свободными границами методом, основанным на построении априорных оценок. Поэтому сначала с помощью метода, основанного на построении априорных оценок, определим ограничения на параметры задачи, при которых она глобально разрешима. Первая, основополагающая оценка, дает ту начальную информацию, отправляясь от которой можно получать шаг за шагом, двигаясь вверх по шкале банаховых пространств. Для этого задача сводится к задаче с фиксированной границей через замену переменных. Полученная задача имеет зависящие от времени и положения в пространстве коэффициенты с нелинейными слагаемыми. Далее построены априорные оценки типа Шаудера для решения уравнения с нелинейными слагаемыми и фиксированной границей. На основе полученных оценок доказана единственность решения задачи. Затем было доказано глобальное существование решения задачи с помощью теоремы Лерэ-Шаудера о неподвижной точке.