О единственности определения ядра интегро-дифференциального уравнения параболического типа
Аннотация
Исследуется задача определения ядра интегрального слагаемого в одномерном интегро-дифференциальном уравнении теплопроводности по известному решению задачи Коши для этого уравнения. В начале исходная задача заменяется эквивалентной задачей, где в дополнительное условие входит искомое ядро без интеграла. Изучаются вопросы о единственности нахождения этого ядра. Далее в предположении, что существуют два решения $k_1(x,t)$ и $k_2(x,t)$, получены интегро-дифференциальные уравнения, условия Коши и дополнительные условия для разностей решений задач Коши, соответствующих функциям $k_1(x,t)$, $k_2(x,t)$. Дальнейшие исследования проводятся для разности $k_1(x,t) - k_2(x,t)$ решений поставленной задачи и с помощью техники оценок интегральных уравнений показывается, что $k_1(x,t) \equiv k_2(x,t)$ в классе ядер $k(x,t),$ представимых в виде $k(x,t)=\sum_{i=0}^N a_i(x)b_i(t)$. Таким образом, доказана теорема о единственности решения поставленной задачи.