Бесконечность числа собственных значений операторных $(2\times 2)$-матриц. Асимптотика дискретного спектра
Аннотация
Изучается неограниченная операторная $(2\times 2)$-матрица $\mathcal A$ в прямой сумме двух гильбертовых пространств. Получены асимптотические формулы для числа собственных значений операторной матрицы $\mathcal A$. Рассматривается операторная $(2\times 2)$-матрица $\mathcal A_\mu$ ($\mu>0$ - параметр взаимодействия), ассоциированная гамильтонианом системы с не более чем тремя частицами на решетке $\mathbb Z^3$. Найдено критическое значение $\mu_0$ параметра взаимодействия $\mu$, при котором оператор $\mathcal A_{\mu_0}$ имеет бесконечное число собственных значений. Эти значения накапливаются к нижней и верхней граням существенного спектра. Получена асимптотика для числа таких собственных значений, лежащих как в левой, так и в правой части существенного спектра.