The discrete analogue of high-order differential operator and its application to finding coefficients of optimal quadrature formulas
Аннотация
Abstract The discrete analog of the differential operator plays a significant role in constructing interpolation, quadrature, and cubature formulas. In this work, we consider a discrete analog $D_{m}(h\beta )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> of the differential operator $\frac{d^{2m}}{dx^{2m}}+1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> designed specifically for even natural numbers m . The operator’s effectiveness in constructing an optimal quadrature formula in the $L_{2}^{(2,0)}(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> space is demonstrated. The errors of the optimal quadrature formula in the $W_{2}^{(2,1)}(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> space and in the $L_{2}^{(2,0)}(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> space are compared numerically. The numerical results indicate that the optimal quadrature formula constructed in this work has a smaller error than the one constructed in the $W_{2}^{(2,1)}(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> space.