Time-dependent source identification problem for a fractional Schrödinger equation with the Riemann–Liouville derivative
Annotatsiya
UDC 517.9 We consider a Schrödinger equation <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> <mml:math> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> <mml:math> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with the Riemann–Liouville derivative. An inverse problem is investigated in which, parallel with <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> a time-dependent factor <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of the source function is also unknown. To solve this inverse problem, we use an additional condition <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with an arbitrary bounded linear functional <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The existence and uniqueness theorem for the solution to the problem under consideration is proved. The stability inequalities are obtained. The applied method make it possible to study a similar problem by taking, instead of <mml:math> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> an arbitrary elliptic differential operator <mml:math> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with compact inverse.