Expansion of eigenvalues of the perturbed discrete bilaplacian
Annotatsiya
Abstract We consider the family $$\begin{aligned} {\widehat{{ H}}}_\mu := {\widehat{\varDelta }} {\widehat{\varDelta }} - \mu {\widehat{{ V}}},\qquad \mu \in {\mathbb {R}}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mover> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> of discrete Schrödinger-type operators in d -dimensional lattice $${\mathbb {Z}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , where $${\widehat{\varDelta }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is the discrete Laplacian and $${\widehat{{ V}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is of rank-one. We prove that there exist coupling constant thresholds $$\mu _o,\mu ^o\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that for any $$\mu \in [-\mu ^o,\mu _o]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the discrete spectrum of $${\widehat{{ H}_\mu }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is empty and for any $$\mu \in {\mathbb {R}}\setminus [-\mu ^o,\mu _o]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the discrete spectrum of $${\widehat{{ H}_\mu }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is a singleton $$\{e(\mu )\},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$e(\mu )<0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for $$\mu >\mu _o$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$e(\mu )>4d^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for $$\mu <-\mu ^o.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Moreover, we study the asymptotics of $$e(\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi>